博弈论(一)

结论：

$a_1\oplus a_2 \oplus ...a_n = 0$ 先手必败

$a_1\oplus a_2 \oplus ...a_n = x \ne 0$ 先手必胜

证明：

操作到最后， 每堆石子数都是$0$ ， $0\oplus 0 \oplus ...0 = 0$

假设:

不妨设x的二进制表示中最高一位1在第$k$位，那么在$a_1,a_2,…,a_n$中，必然有一个数$a_i$，它的第$k$为时1，且$a_i⊕x<a_i$，那么从第i堆石子中拿走$(a_i−a_i⊕x)$个石子，第$i$堆石子还剩$a_i−(a_i−a_i⊕x)=a_i⊕x$，此时$a_1⊕a_2⊕…⊕a_i⊕x⊕…⊕a_n=x⊕x=0$

可得：

1. 如果先手面对的局面是$a_1⊕a_2⊕…⊕a_n≠0$，那么先手总可以通过拿走某一堆若干个石子，将局面变成$a_1⊕a_2⊕…⊕a_n=0$。如此重复，最后一定是后手面临最终没有石子可拿的状态。先手必胜。

2. 如果先手面对的局面是$a_1⊕a_2⊕…⊕a_n=0$，那么无论先手怎么拿，都会将局面变成$a_1⊕a_2⊕…⊕a_n≠0$，那么后手总可以通过拿走某一堆若干个石子，将局面变成$a_1⊕a_2⊕…⊕a_n=0$。如此重复，最后一定是先手面临最终没有石子可拿的状态。先手必败。

题目：https://www.acwing.com/problem/content/892/

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 20;
int p[N];
int n, m;
typedef long long LL;
int main()
{
	cin >> n>> m;
	for (int i = 0; i < m; i ++) cin >> p[i];
	int res = 0;
	// 枚举1 到 1111 ... m个 集合，
	for (int i= 1; i < 1 << m; i ++)
	{
		int t = 1; // 所选集合对应的质数乘积。
		int s = 0; //所选集合的数量
		for (int j = 0; j < m; j ++)
			if (i >> j & 1)
			{
				// 如果大于n，则说明在n中没有所选集合的最小公倍数
				if ((LL)t * p[j] > n)
				{
					t = - 1;
					break;
				}
				t *= p[j];
				s ++;
			}
		//如果t==-1，则说明在n中没有所选集合的最小公倍数
		if (t == -1) continue;
		if (s & 1) res += n / t; // 根据公式可得， 奇数相加
		else res -= n / t; //偶数相减
 	}	

	cout << res << endl;

	return 0;
}